Oficialiai Vengrija yra įtraukta į Kuvasz kilmės šalį. Ganymo šuo kilęs iš Azijos ir iš ten atkeliavo į Vengriją.
Pavadinimas Kuvasz kilęs iš terminų Kawash arba Kawass ir reiškia kažką panašaus į „gynėjas“ arba „globėjas“. Jau viduramžiais kuvašas buvo neatsiejama medžioklės dalis ir namų bei ūkių globėja. Valdant Vengrijos karaliui Matthias Corvinus, budrus keturkojis draugas vis dažniau buvo vertinamas kaip labai populiarus šuo tarp aukštuomenės.
XX amžiaus pradžioje buvo pradėtas tikslinis kuvasų veisimas, kuris žemiausią tašką pasiekė 20 m.: Vengrijos sukilimo metu daugelis piemenų šunų buvo sušaudyti.
Šiandien kuvaszas laikomas reta šunų veisle. Vokietijoje naujagimių Kuvasz šuniukų skaičius yra 50 gyvūnų per metus.