רשמית, הונגריה רשומה כארץ המוצא של קובאש. כלב הרועים מגיע במקור מאסיה ומשם הגיע להונגריה.
השם Kuvasz מגיע מהמונחים Kawash או Kawass ופירושו משהו כמו "מגן" או "אפוטרופוס". כבר בימי הביניים היה הקובאש חלק בלתי נפרד ממפלגת הציד ושומר הבתים והמשקים. בתקופת שלטונו של המלך ההונגרי מתיאס קורווינוס, החבר הערני בעל ארבע הרגליים נחשב יותר ויותר ככלב פופולרי מאוד בקרב האצולה.
בתחילת המאה ה-20 החלה רבייה ממוקדת של קובאש, שהגיעה לשפלה ב-1956: במהלך המרד ההונגרי נורו רבים מכלבי הרועים.
כיום, הקווואש נחשב לגזע כלבים נדיר. מספר גורי Kuvasz שזה עתה נולדו בגרמניה הוא 50 בעלי חיים בשנה.